MATEMATICAS |
Control del caos usando la estrategia OGY
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RESUMEN [ABSTRACT]
Ott, Grebogi y Yorke (OGY) publicaron en 1990 su primer
artículo sobre el control del caos. A partir de entonces ha crecido el interés
en el tema, especialmente por las aplicaciones: no siempre es deseable el
comportamiento caótico. La estrategia OGY consiste en usar pequeñas
perturbaciones de la órbita, de modo que ésta se estabilice en una de las
órbitas periódicas inestables que existen en un atractor caótico. La
perturbación pequeña significa que los parámetros, apenas variados, corresponden
al pleno caos que se va a controlar. Utilizaremos el simple mapa logístico con
el fin de enseñar el control del caos, estabilizando la órbita: 1) En un punto
fijo. 2) En un ciclo de período 2.
Introducción
Las dos grandes revoluciones de la Física del principio del siglo XX son la
Mecánica Cuántica de Planck y la Teoría de la Relatividad de Einstein. Así mismo
podemos decir que los otros dos grandes descubrimientos de la segunda mitad del
siglo XX son la unificación electrodébil de Weimberg y Salam, y el Caos de
Lorenz. La Mecánica Cuántica dice que el intercambio de energía se hace de a
"cuantos", y no en forma continua como lo predice la Mecánica Clásica. Esta
mecánica se mostró muy útil para lo microscópico (átomos, moléculas...) pero en
lo macroscópico, siguen rigiendo las leyes de Newton. La relatividad especial se
aplica a partículas moviéndose a velocidades cercanas a la velocidad de la luz
y, nuevamente, podemos usar la Mecánica Clásica para los sistemas que se mueven
a velocidades muy inferiores a las de la luz. La Física siempre buscó la
unificación entre sus diversas ramas. Así fue como la electricidad y el
magnetismo fueron unificadas en el Electromagnetismo. Unificar significa
encontrar unas ecuaciones que permitan describir ambas teorías. Son cuatro los
tipos fundamentales de fuerzas que existen: fuerte; débil; electromagnética y
gravitación. las dos primeras, de origen nuclear. La fuerte es responsable de la
atracción entre los nucleones y componentes del núcleo, y la débil, la que
explica la emisión beta. La unificación electrodébil logra relacionar el
electromagnetismo y la débil.
La teoría del caos vislumbrada por Poincaré a fines de siglo XIX -en pleno
auge en la actualidad gracias a los estudios del meteorologista Lorenz en 1963-,
se perfiló como una solución a los problemas de dinámica no lineal en la Física,
y se basa en el estudio de la la evolución de una magnitud con el tiempo:
Tenemos comportamiento caótico cuando la solución oscila con el tiempo de una
manera irregular, o sea, cuando la solución de un sistema determinístico se
muestra durante grandes periodos de tiempo en forma aperiódica e imprevisible y
además posee una gran sensibilidad a las condiciones iniciales. En la teoría
simple de atmósfera de Lorenz, esto quiere decir que es intrínsecamente
imposible hacer un pronóstico meteorológico, digamos, para dentro de un mes.
Esta teoría de la dinámica no lineal (la suma de soluciones no es solución)
desborda el ámbito de la Física (circuitos, péndulos forzados, trayectoria de
algunos satélites) y se aplica, en otras ciencias naturales (a nivel
macroscópico), a otras magnitudes que varían caprichosamente con el tiempo, como
ciertas reacciones químicas, poblaciones de insectos, arritmias, terremotos,
fibrilación del corazón e incluso se ha intentado aplicar al mercado de acciones
(aunque en este último caso entramos al área de las ciencias sociales, en las
que interviene la libertad del hombre, y por lo tanto, no habría determinismo).
Decíamos que el caos también posee una alta sensibilidad a las condiciones
iniciales. Es decir, en un sistema no caótico, como la trayectoria de una pelota
de fútbol, una pequeña diferencia entre dos puntapiés producirá tiros similares.
Cuando tenemos caos, una pequeña diferencia al principio, se agrandará
exponencialmente en el futuro. El exponente es el producto de un número
positivo, llamado exponente de Liapunov, y el tiempo.
Volviendo al ejemplo meteorológico, la alta sensibilidad a las condiciones
iniciales se ejemplifica con el llamado "efecto mariposa". De dos mariposas que
aletean en Hong Kong, una puede no producir nada y la otra provocar un huracán
en el Caribe.
Otra de las propiedades a destacar es que se trata de caos "determinístico",
es decir, no se trata de ruido, sino de soluciones aperiódicas de una o varias
ecuaciones bien concretas y que determinan la evolución. Además, no sólo las
ecuaciones complicadas producen caos; en algunos casos simples, como en la
ecuación logística, también se cumple esta propiedad.
Por último, se dice que las soluciones que varían de forma tan "arbitraria",
entran en un atractor extraño, cuyas propiedades geométricas son las de un "fractal"
(Strogatz 1994).
Un fractal podría ejemplificarse como una foto donde hay una persona que
tiene en su mano una foto, donde aparece la misma persona con una foto... y así
indefinidamente. Es decir, un fractal tiene estructura a escalas arbitrariamente
pequeñas, es autosimilar y su dimensión no siempre es un entero. Esto último
significa que un objeto de dimensión 1, como un segmento de recta, puede
transformarse en el fractal de Cantor si lo dividimos en tres y le suprimimos el
tercio central; luego, con los dos segmentos que quedan, vuelvo a suprimir el
tercio central, y así sucesivamente hasta el infinito. El resultado puede
calcularse con una nueva forma de definir "dimensión" y tiene dimensión 0.63
(esto da una idea de lo "agujereado" que quedó el segmento, casi pulverizado).
Pueden generarse fractales usando unas sencillas fórmulas recursivas (i.e.,
que se llaman a sí mismas) en un PC y obtener lindas formas geométricas
semejantes a los árboles, las nubes o la costa irregular de una isla. La
geometría que estudiamos en la escuela -y que incluye figuras más simples, como
esferas, cubos, conos, y otros-, no puede representar formas irregulares, que
son las que realmente muestra la naturaleza, como el sistema de vasos sanguíneos
y sus capilares. Los fractales sí son capaces de representarlos.
Los primeros intentos para controlar el caos son recientes, datan de 1990 y
se volvieron un tema importantísimo porque no siempre éste es deseable. Tomemos
el caso de un ingeniero que necesite que una máquina funcione a determinada
frecuencia. Por supuesto, un funcionamiento caótico de dicha máquina (es decir,
que funcione con una distribución continua de frecuencias) no sería nada
deseable. Ott, Grebogi y Yorke (Método OGY) son los pioneros en el área del
control del caos. Su estrategia es estabilizar el sistema usando pequeñas
variaciones al parámetro que gobierna el caos para estabilizar la órbita en un
punto fijo (quietud), o en una órbita periódica inestable presente en el seno
del caos (como en el movimiento circular, por ejemplo). La estrategia OGY sirve
para controlar el caos permanente. Y ellos mismos han encontrado que a veces es
deseable el caos, porque teniendo caos uno puede elegir, al controlar, el tipo
de órbita periódica deseada.
Todo lo dicho se refiere al caos permanente. Sin embargo, muy poco se ha
hecho para controlar el caos transitorio (www.ciencia.cl/CienciaAlDia volumen 3,
número 2), obteniéndose una baja probabilidad de control en este caso. En el
caso de control del caos transitorio sucede que el sistema generalmente sale del
régimen caótico antes de que sea controlado.
Ott, Grebogi y Yorke mostraron que puede controlarse el simple Caos
permanente en un punto fijo, en una órbita de período 2 o en una enorme cantidad
posibles de órbitas periódicas inestables. Esta flexibilidad multipropósito es
propio de los seres desarrollados y se especula que el Caos es una componente
del funcionamiento del cerebro y su control sería centrar la atención en alguna
idea concreta.
Cálculos
La presencia del caos en sistemas físicos ha sido extensamente demostrado.
Suponemos que es imposible hacer un gran cambio al sistema para llevarlo a la
zona periódica. Ott, Grebogi y Yorke (OGY) propusieron en 1990 un método de
control del caos basado en pequeñas perturbaciones dependientes del tiempo, de
modo que la órbita se estabilice en una de las órbitas periódicas inestables que
existen en un atractor caótico. La perturbación pequeña significa que los
parámetros, apenas variados, corresponden al pleno caos que se va a controlar.
Para clarificar el método OGY, lo aplicaremos a una de las más sencillas
fórmulas de recurrencia que presentan caos: El mapa Logístico siguiente:
El caos se da a partir de r > 3.569946... excepto para algunas ventanas
periódicas. Entonces si tenemos pleno caos, por ejemplo r = 3.78, la idea OGY no
es cambiar drásticamente el r hasta la zona periódica; ni siquiera hasta una
ventana periódica cercana. Tratamos de controlar el caos con variaciones muy
pequeñas de r en plena zona caótica.
La clave del método consiste en estabilizar la órbita (los Xn) en alguna de las
infinitas órbitas inestables que hay dentro del atractor caótico. En particular,
controlaremos en el punto fijo inestable 1-1/r y en la órbita de período 2
correspondiente a la ecuación (2).
Para el control hemos usado el método OGY simplificado por Flynn y Wilson
(1998).
A) ESTABILIZACIÓN EN UN PUNTO FIJO:
Para estabilizar la órbita en el punto fijo inestable 1-1/r procedemos
esquemáticamente así:
- r0 = 3.78
- Calcular Xn
- Calcular rp=1/(1- Xn)
- Si Abs(rp-r0) < 0.01 entonces r = rp
- Volver a 2)
Ver abajo programa en Basic y figura 1.
Figura 1: Control del caos en un punto fijo
B) ESTABILIZACIÓN EN UN CICLO DE PERIODO 2:
Para estabilizar la órbita en la órbita inestable de período 2, procedemos
esquemáticamente así:
- r0 = 3.78
- Calcular Xn
- Calcular Xn+1
- Calcular rp= Xn/(Xn+1 - [Xn+1]2)
- Si Abs(rp-r0) < 0.01 entonces r = rp
- Volver a 2)
Ver programa en el Apéndice y figura 2.
Figura 2: Control del caos en una órbita de período 2
Hemos visto como controlar el caos llevándolo a un punto fijo o a una órbita
periódica (2-ciclo). El método OGY permite así, en principio, estabilizar el
caos en cualquier órbita periódica inestable elegida con un leve cambio del
parámetro, y entonces, la presencia de caos tiene mayor ventaja. Físicamente
significa que no se debe rediseñar el experimento cambiando completamente el
parámetro para tener una órbita de un tipo u otro, sino que, estando en el caos,
se puede elegir fácilmente el sistema periódico que más convenga usando esta
forma de control. Es más, se puede pasar fácilmente de un comportamiento
periódico a otro buceando dentro del caos y sin una alteración costosa del
sistema. Esta flexibilidad "multipropósito" es esencial en las formas de vida
más complejas, y podemos especular que el caos es un ingrediente necesario para
la regulación del cerebro (Ott, Grebogi y Yorke, 1990).
Apéndice
'PROGRAMA EN BASIC PARA CONTROLAR EL CAOS EN UN PUNTO FIJO '
OPEN "C:OGYLOG1.XLS" FOR OUTPUT AS #1
i=1
X=.5
r0=3.78
r=r0
1 X=r*(X-X^2)
PRINT #1 X
i=i+1
IF i>2500 THEN GOTO 3
rp=1/(1-X)
IF ABS(rp-r0)<0.01 THEN GOTO 2
GOTO 1
2 r=rp
GOTO 1
3 CLOSE #1
END
'PROGRAMA EN BASIC PARA CONTROLAR EN UNA ÓRBITA DE PERÍODO 2
OPEN "C:OGYLOG2.XLS" FOR OUTPUT AS #1
i=1
X=.5
j=0
r0=3.78
r=r0
1 X=r*(X-X^2)
PRINT #1 X
IF j=0 THEN GOTO 2
GOTO 3
2 X1=X
j=1
i=i+1
GOTO 1
3 X2=X
j=0
i=i+1
IF i>1500 THEN GOTO 5
rp=X1/(X2-X2^2)
IF ABS(rp-r0)<0.01 THEN GOTO 4
GOTO 1
4 r=rp
GOTO 1
5 CLOSE #1
END
Punteros de interés
http://www.ang-physik.uni-kiel.de/~stephan/OdeControl.html
Referencias
Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear dynamics and chaos.
Perseus Books, Reading, Massachusetts
Ott E, Grebogi C, Yorke J A, "Controlling Chaos" Phys. Rev.
Lett. 1990, 64, 1196
Flynn C, Wilson N, "A simple method for controlling Chaos"
Am. J. Phys. 1998, 66, 730